更新时间：2024-04-22 14:07:44点击：
1，讨论两个集合间映射的连续性需要“开子集”的概念，我们把“开子集”具有的性质“提取”出来。
2，然后在集合上定义：“什么样的子集叫开子集”，集合便有了原来(没有定义“开子集”之前)，没有的性质，这样的集合我们称之为拓扑空间。
3，拓扑空间即是赋予了拓扑结构的集合(定义了“开子集”)，借此我们可以利用映射的连续性定义许多有用的概念，例如：紧致性，连通性，同伦，同胚，…………
4，这许许多多的概念与性质都源于：“我们要讨论映射的连续性，于是我们要定义什么叫开子集”(赋予集合拓扑结构，使之成为拓扑空间)。最基本的概念就是这些了。
吐个槽，在我看来，研究拓扑空间度量空间开集闭集紧集列紧集和极限这一方面的点集拓扑，和利用各种同伦同调上同调群研究拓扑空间整体性质的代数拓扑，完全是两个学科…
填坑，填坑！！！！
如果单纯的是如题所问"请教一下拓扑是什么概念"?
那么我的回答根据不同的人群分别有不同的两种回答:
第一种是针对专业的数学研究人群，或者有兴趣成为其中的一份子的人。
回答如下：
定义1.1.1 设 是一个集合，
是
的一个子集族.如果
满足如下条件:
(1)
(2)若则
;
(3)若 ,则
.
则称是
的一个拓扑。
第二种回答是针对如题主一类的好奇人士作为科普:
回答如下：
拓扑学是数学的一个分支。它的主要研究内容，是几何形状在连续形变中所不改变的性质。例如，一个有把手的茶壶连续变化成轮胎，而不是一个球。参考果壳网这个图,这里面也说了点关于诺奖的内容。一个洞和两个洞的结构是两个拓扑结构。
回答完毕！。
另外！～～
针对前面的高票已经对诺奖的讲解已经很到位了。这里侧重针对数学研究人群。说点拓扑相关的。
拓扑学大致可以分成两个分支。一个是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑，另一个是 偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。拓扑学的主要工作是研究拓扑不变性。至于在计算机方向上应用的网络拓扑，最后都可以抽象到数学的图论上来。毕竟他们是从数学上发展而来的。
针对定义1.1.1做一下简单的分析,
" 是
的一个子集族."现代的数学概念是在集合论的基础上构建的所以以集合的概念来定义拓扑很容易理解，子集族的含义简单来说就是:是对X的所有子集，你可以分别一个一个拿出来，然后任意组合。构成的新的集合称为子集族。比如
.
它的子集一共有 个,它们分别是
.
（为什么加上空集，因为空集是任何集合的子集）
从中任意取出一些，再重新组合为新的集合为 ，那么
可以称为一个子集族。
可以称为一个子集族。
也可以称为一个子集族。
理论上讲 的子集族一共有
个，你看
本来只有3个元素，而他的子集族足足有256个,这不仅仅是指数倍的增长，而是指数的指数倍的增长，我们要从这256个子集族里面挑选出符合条件的，才可以称之为
的拓扑。由此可以看出拓扑的博大精深了吧。
关于条件(1)：
要求空集和全集在这个子集族里面。 没有空集和全集，所以不是
的拓扑。
关于条件(2):
满足条件(1),但是不满足条件(2)，因为
而
并不在子集族
里因此，
也不是
的一个拓扑。
关于条件(3):
满足条件(1)(2),但是
并不在
中，因此
不是
的一个拓扑。
以下子集族均满足定义1.1.1的条件(1)(2)(3),
也就是这里给出 的所有拓扑,
由此可以得出结论:3元素集合的拓扑数为29;
如上只是点集拓扑中的拓扑概念的解释。是最最基础的一个概念定义。除此之外还有同胚，连续映射，开集，闭集，导集，闭包，内部，边界，基与子基等更为重要的基础概念与定义。对于不同的空间性质。我们有第一第二可数性公理，
可分，空间，lindelof空间。T0 ，T1 Hausdorff空间，正则空间，正规空间，可度量化空间以及它们之间的转化关系。这些都是需要学习的。如果有机会在别的问题里面，可以补充回答。共同探讨学习。
本人才疏学浅，如有不严谨不足之处欢迎指正。虚心接受批评意见。
借这个题目介绍一下拓扑学里的一个经典问题，让学过一学期拓扑的初学者了解下现代拓扑学的口味。这个问题的名字我一说出来，不少数学爱好者必然会心一笑，它就是——球面线性无关向量场个数问题。
其实这个问题很自然：给定维数的球面，其上面可以容许的逐点线性无关的切向量场，最大数目是多少？换句话说，球面的极大平凡子丛的秩是多少？我们先看一些特殊的维数。
所有偶数维的球面都没有非零切向量场，也就是说它们没有平凡子丛。这是广义的毛球定理。当球面维数为2时，就是经典的毛球定理。用比较通俗的语言说，每一个毛球上面都有至少一个旋；或者从大气运动的角度说，如果风向跟地表相切的话，那么不管风在地表怎么分布，都存在一个静风点。我随便找了一篇相关的科普文章，希望即使完全没学过大学数学的人，也能有所收获：
椰子上的毛为什么捋不顺-科普中国而在奇数维的情形，我们知道，1，3，7维单位球面是可平行化的，也就是切丛平凡，所以它们对应的无关切向量场数目就是1，3，7。这得益于 存在于代数世界的3个可除代数：复数，四元数，八元数。其余维数球面，可以证明它们都是不可平行化的。到这里，应该有些人会觉得这个问题已经足够有趣了——对它的部分情形的讨论，已经涉及了 毛球定理 和 可除代数分类（Hurwitz's theorem）两个著名定理。而这个问题的完整答案，又会长什么样呢？
我不打算回顾这个问题的研究历史，我直接给出它的最终答案：
定理（Frank Adams，1962）
N-1维球面上恰有ρ(N) ? 1个逐点线性无关切向量场。其中ρ(N) 是所谓的Radon–Hurwitz number，定义如下：
把N写作 ，其中A为奇数，B为自然数，又把B写作B=c+ 4d, 0 ≤c< 4. 则：
附维基链接：
Vector fields on spheres说实话，这也是一个表述简单但是证明却高度技术化的问题。球面切向量场这种概念，不少工科生在工科课程里都接触过吧。极大无关切向量组的数量，在数学上也是非常自然的问题。谁能在看到它的第一眼，想到它能和 数论函数建立联系呢？
这个问题的完全解决，毫无疑问是代数拓扑发展史上里程碑式的成就。但是也请注意，这是代数拓扑在上世纪60年代就已经达到的水平。我希望正在学习拓扑的数学爱好者们，能够借这类有趣的问题开阔一下眼界，培养一下数学口味；拓扑不是只有 开集3公理、连通性、可分性、覆盖空间、单纯（上）同调等等基础概念，它还有cobordism theory, K theory, homotopy theory, 以及和微分几何和数学物理的联系——比如怪异光滑结构；代数拓扑自身发展到后面也变得代数化，范畴化，比如model category, spectrum等等。这个学科真的有太多太多经典的、有趣的内容，你们不要把它当成“验证定义”式的学科；无论是业余爱好者还是专业研究人员，都可以在数学中发现美，欣赏美，这也是做数学的一部分意义。
